临界点计算器

写下一个函数,该工具将确定其局部最大值和最小值、临界点和稳定点,并显示步骤。

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临界点计算器可帮助您确定给定函数的局部最小值和最大值 、稳定点和临界点。我们的临界点查找器可区分并应用幂律来确定不同的点。

什么是关键点?

临界点是一个广泛使用的术语,用于数学的许多领域。当涉及实变量函数时,临界点是函数域中函数不可微的点。当处理复变量时,临界点也是函数域不全纯或其导数为零的点。

类似地,对于具有多个实变量的函数,临界点是其范围内的临界值(其中梯度未定义或等于零)。多维函数的临界点是该函数的一阶偏导数为零的点。 

单变量函数的临界点:

单实变量函数f(x)的临界点是x的值在f的区域内,该区域不可微,或者它的导数为0(f'(X)=0)。

例子:

找出函数 4x^2 + 8x 的临界数。

解决方案

查找 4x^2 + 8x 的临界数字计算器

衍生步骤:

/X4X2+8X∂/∂x (4x^2 + 8x)

临界点计算器多变量逐项求 4x^2 + 8x 的导数:

因此,常数函数的导数是常数乘以该函数的导数。

现在,临界数字计算器应用幂法则:x^2 等于 2x

因此结果是:8x

然后,临界点计算器使用幂律的步骤应用:x 趋向于 1

因此,x 为:8

结果为:8x + 8

最后,临界数计算器通过将 f'(x) = 0 找到临界点

8x + 8 = 0

局部最小值

(x,f(x))=(−1,−4.0)

局部最大值

(x, f(x)) = 无局部最大值根:[−1]

如何计算两个变量的临界点?

要手动找到这些点,您需要遵循以下准则:

  • 首先,写下给定的函数并对所有给定的变量求导。
  • 现在,应用微分后的幂律。
  • 然后,通过用 0 代替变量来找到局部最小值和最大值。

但是,您可以按照以下步骤使用我们的临界点计算器找到这些点:

例子:  

找到多元函数的临界点:4x^2 + 8xy + 2y。

解决方案:

衍生步骤:

∂/∂x (4x^2 + 8xy + 2y)

多变量临界点计算器逐项区分 4x^2 + 8xy + 2y:

临界点计算器应用幂律:x^2 等于 2x

所以导数是:8x

再次,临界数计算器应用幂律:x 趋向于 1

8xy 的导数是:8y

常数 2y 的导数为零。

因此结果是:8x + 8y

现在,临界数字计算器取第二个变量的导数:

∂/∂y (4x^2 + 8xy + 2y)

逐项区分 4x^2 + 8xy + 2y:

常数 4x^2 的导数为零。

现在,应用幂律:y 趋向于 1

所以导数是:8x

应用幂律:

y 趋向于 1 因此 2y 的导数为:2

答案是:8 x + 2

为了找到临界点,请将 f'(x, y) = 0

8x + 8y = 0

8x + 2 = 0

因此,函数的临界数是:

根: {x:−14, y:14}

带有步骤的临界点计算器如何工作?

在线临界数计算器通过遵循以下准则的几种方法找到临界点:

输入:

  • 首先,输入任何具有单个或多个变量的函数。
  • 单击计算按钮可查看分步计算。

输出:

  • 带有步骤的临界点计算器显示给定函数的临界点。
  • 它使用导数和幂法则来确定临界点和驻点。

常问问题:

临界点有哪些类型?

临界点是不存在∇f或∇f=0的地方。临界点是点z = f(x, y)的切平面为水平或不存在。所有局部极值和最小值都是临界点。

  • 局部最小值位于 (−π2,π2),(π2,−π2),
  • 局部最大值位于 (π2,π2),(−π2,−π2),
  • 鞍点位于 (0,0)。

如果没有临界点会怎么样?

如果函数没有临界点,则意味着斜率不会从正变为负,反之亦然。因此,图形上的临界点会增加或减少,可以通过微分并代入 x 值来找到。

结论:

使用此在线临界点计算器,可计算单变量和多变量函数的临界点。它使用不同的方法精确确定给定单变量函数的局部最大值和最小值。